Vektorrechnung

Die Vektorrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektoren und deren Operationen beschäftigt. Vektoren sind Größen, die sowohl eine Richtung als auch einen Betrag (Länge) besitzen. Sie sind in vielen Bereichen der Physik und Ingenieurwissenschaften von zentraler Bedeutung.

Der Betrag eines Vektors, auch als Länge oder Norm bezeichnet, gibt die Distanz vom Anfangspunkt zum Endpunkt des Vektors an. Für einen Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ in einem dreidimensionalen Raum wird der Betrag wie folgt berechnet:

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Der Betrag eines Vektors ist immer eine nicht-negative Zahl und gibt die Größe des Vektors unabhängig von seiner Richtung an.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ kann durch das Skalarprodukt und die Beträge der Vektoren bestimmt werden. Der Winkel $\theta$ zwischen den beiden Vektoren ist gegeben durch:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Hierbei steht $\vec{u} \cdot \vec{v}$ für das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$. Der Winkel $\theta$ ist in der Regel zwischen 0° und 180°.

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, der eine Länge von 1 hat. Er wird oft verwendet, um die Richtung eines Vektors anzugeben, ohne seine Größe zu berücksichtigen. Ein Vektor $\vec{v}$ kann in einen Einheitsvektor $\hat{v}$ umgewandelt werden, indem er durch seinen Betrag geteilt wird:

$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Einheitsvektoren sind besonders nützlich in der Physik und Technik, um Richtungen in einem Koordinatensystem zu definieren.

Ein Normalvektor ist ein Vektor, der orthogonal (rechtwinklig) zu einer gegebenen Ebene oder Linie steht. In der Geometrie wird der Normalvektor häufig verwendet, um Ebenen zu beschreiben. Für eine Ebene, die durch die Gleichung $ax + by + cz = d$ beschrieben wird, ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ ein Normalvektor.

Normalvektoren sind wichtig in der Berechnung von Abständen, Projektionen und bei der Untersuchung von Ebenen und Flächen.

Die Addition und Subtraktion von Vektoren sind grundlegende Operationen der Vektorrechnung. Für zwei Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ gelten folgende Regeln:

• Vektoraddition: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}$
• Vektorsubtraktion: $\vec{a} – \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 – b_1 \\ a_2 – b_2 \\ a_3 – b_3 \end{pmatrix}$

Diese Operationen sind kommutativ und assoziativ, was bedeutet, dass die Reihenfolge der Vektoren bei der Addition keine Rolle spielt.

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt genannt) zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist eine skalare Größe und wird wie folgt berechnet:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Das Skalarprodukt ist nützlich, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen und festzustellen, ob zwei Vektoren orthogonal (rechtwinklig) zueinander sind. Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren null ist, sind die Vektoren orthogonal.