Geometrie

Die Geometrie befasst sich mit der Abmessung von Figuren und Körpern im Raum. Was ist der Unterschied zwischen einer Figur und einem Körper? Eine ebene Figur ist eine Längenabmessung im zweidimensionalen Raum, wohingegen ein Körper eine dreidimensionale Figur ist.

Weitere wichtige Definitionen sind folgende:

• Länge (a): Die Abmessung zwischen zwei Punkten.
• Breite (b): Eine Abmessung zwischen zwei Punkten, die senkrecht zur definierten Länge steht und das System als zweidimensional definiert.
• Höhe (c): Eine Abmessung, die senkrecht zur Länge und Breite steht.
• Umfang: Die Gesamtlänge der Begrenzungslinien einer Figur.
• Fläche: Der Inhalt eines Umfangs.
• Grundfläche: Die untere Fläche eines dreidimensionalen Körpers.
• Deckfläche: Die obere Fläche eines Körpers.
• Seitenflächen: Die Flächen an den Seiten des Körpers.
• Mantelfläche: Die Summe der Oberflächeninhalte der Seitenflächen.

Figuren sind zweidimensional und liegen in einer Ebene. Körper sind dreidimensional. Im Folgenden werden die wichtigsten Figuren und Körper vorgestellt und gezeigt, wie sich ihre Oberfläche und ihr Volumen berechnen lassen.

Winkel dienen der Beschreibung der gegenseitigen räumlichen Orientierung von Geraden oder Ebenen und lassen sich auf unterschiedliche Art und Weise angeben. Für uns von Relevanz sind das Gradmaß und das Bogenmaß. Ein Winkel ist die Verschiebung einer Geraden bzw. Ebene zu einer anderen Gerade bzw. Ebene. Beide Ebenen oder Geraden müssen einen gemeinsamen unveränderlichen Punkt besitzen.

• Gradmaß: Ein Kreis wird in 360 gleich große „Kuchenstücke“ unterteilt. Der Winkel, den jeder dieser Teile darstellt, entspricht 1°. Alternativ kann man 1° auch als 60 Winkelminuten oder als 3.600 Winkelsekunden definieren.
• Bogenmaß: Setzt die Länge des zu einem Kuchenstück gehörenden Kreisbogens zum Radius ins Verhältnis. Die Einheit ist Radiant (rad). 360° entsprechen 2π rad.

https://de.wikipedia.org/wiki/Radiant_(Einheit)

Ein Kreis wird beschrieben durch seinen Radius, woraus Durchmesser, Umfang und Fläche direkt folgen. Der Radius (r) entspricht der Länge der Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser entspricht der Länge der Verbindungslinie zweier Punkte auf der Kreislinie, wobei diese Verbindungslinie durch den Mittelpunkt des Kreises zieht. Somit ist der Durchmesser doppelt so groß wie der Radius.

• Umfang: $U = 2 \cdot \pi \cdot r$
  
• Fläche: $A = \pi \cdot r^2$
  

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis

• Rechteck: Ein Viereck, dessen Innenwinkel alle 90° betragen. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel. Die Fläche eines Rechtecks wird berechnet mittels der Formel $A = a \cdot b$.

https://de.wikipedia.org/wiki/Rechteck

• Quadrat: Ein Sonderfall des Rechtecks, bei dem alle vier Seiten die gleiche Länge aufweisen. Die Fläche eines Quadrats wird berechnet mittels der Formel $A = a^2$.

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrat

Ein Dreieck besitzt drei Ecken, drei Seiten und drei Innenwinkel. Letztere ergeben zusammen 180°. Dreiecke können in verschiedenen Formen auftreten:

• Rechtwinkliges Dreieck: Ein Innenwinkel beträgt 90°.

• Gleichseitiges Dreieck: Alle drei Seiten sind gleich lang, alle Innenwinkel betragen 60°.

• Gleichschenkliges Dreieck: Zwei der drei Seiten sind gleich lang.

• Spitzwinkliges Dreieck: Alle Innenwinkel sind kleiner als 90°.

• Stumpfwinkliges Dreieck: Ein Innenwinkel ist größer als 90°.

• Umfang: Summe der drei Seitenlängen.

• Fläche: $A = \frac{1}{2} \cdot \text{Basis} \cdot \text{Höhe}$
  

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck

Ein Prisma ist ein dreidimensionaler Körper aus einer polygonen, d.h. vieleckigen Bodenplatte, einer Deckplatte mit identischen Maßen sowie einer Höhe $h$.

• Volumen: $V = \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe}$
  
• Oberfläche: Summe der Flächen von Grund- und Deckplatte sowie der Mantelfläche

https://de.wikipedia.org/wiki/Prisma_(Geometrie)

Ein Quader ist ein dreidimensionaler Körper, der aus sechs Rechtecken besteht. Aufeinandertreffende Rechtecke stehen stets im rechten Winkel zueinander. Der Würfel ist ein Spezialfall des Quaders – alle seine Seiten sind gleich lang.

• Volumen: $V = a \cdot b \cdot c$ oder $a^3$ (beim Würfel)
• Oberfläche: $A_0 = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$

https://de.wikipedia.org/wiki/Quader

Ein Zylinder ist ein dreidimensionaler Körper, der aus einer Bodenplatte und einer Deckplatte mit identischen Maßen sowie der Höhe $h$ besteht. Sind Grund- und Deckplatte kreisförmig, so liegt ein Kreiszylinder vor.

• Volumen: $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$
  
• Oberfläche: $A_0 = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$
  

https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)

• Volumen: $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$
• Oberfläche: $A_0 = 4 \cdot \pi \cdot r^2$

Eine Pyramide ist ein dreidimensionaler Körper mit einer polygonalen Grundfläche und einer Spitze, die sich über der Grundfläche erhebt. Die Höhe der Pyramide ist der senkrechte Abstand zwischen der Grundfläche und der Spitze.

• Volumen:
  $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe}$

   

  
  
• Oberfläche: Summe der Grundfläche und der Dreiecksflächen der Seiten

Von Ag2gaeh – Eigenes Werk, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=113436351

Ein Tetraeder ist ein Polyeder mit vier dreieckigen Seitenflächen. Das Tetraeder wird auch gerne als Dreieckspyramide bezeichnet. Im Falle des regelmäßigen Tetraeders sind die vier Dreiecke identisch.

Von Original image: Birgit Lachner, drawn with geocNextVectorisation: Ekips39 – de:Bild:Dualitaet des Tetraeders.png, CC BY-SA 3.0, Link

Ein Hexaeder ist ein Polyeder mit sechs Begrenzungsflächen. Das wohl einprägsamste Beispiel ist aufgrund seiner Symmetrie der Würfel. Es sind aber auch viele andere Variationen denkbar.

https://de.wikipedia.org/wiki/Hexaeder