Implikationen erkennen

I. Einleitung

I.I Wie viele Aufgaben muss ich in welcher Zeit absolvieren?

  • 10 Aufgaben in 10 Minuten
  • pro Aufgabe 1 Minute

I.II Welche Fähigkeiten sind bei Implikation gefragt?

  • logisches Denken
  • logisches Schlussfolgern

I.III Wie sehen die Aufgaben aus?

Allgemein

1. Prämisse

2. Prämisse

  • (A) Schlussfolgerung 1 (korrekt)
  • (B) Schlussfolgerung 2 (falsch)
  • (C) Schlussfolgerung 3 (falsch)
  • (D) Schlussfolgerung 4 (falsch)
  • (E) Keine der Schlussfolgerungen ist korrekt.

Beispiel

Alle A sind B.

Kein B ist C.

  • (A) Einige B sind A.
  • (B) Kein A ist C.
  • (C) Kein B ist A.
  • (D) Einige C sind A.
  • (E) Keine der Schlussfolgerungen ist korrekt.

II. Definitionen

II.I Grundlegendes

  • Implikation
    • Beziehung zwischen Aussagen, wenn eine Aussage logisch aus einer (oder mehreren Aussagen) folgt
  • Prämisse
    • Annahme über den Wahrheitsgehalt einer Sache (z. B. Mediziner sind intelligent.).
  • Quantor
    • Operator der Logik
    • erweitert Eigenschaft vom Subjekt zum Prädikat (und umgekehrt) um bestimmte Mengen
    • vier verschiedene Quantoren beim MedAT
      • alle (volle Menge)
      • keine (leere Menge)
      • einige (Teilmenge)
      • einige ... nicht (Teilmenge)
  • Allgemeine Aufgabe
    • [Quantor] [Begriff A bzw. Subjekt] sind [Begriff B bzw. Prädikat]
    • [Quantor] [Begriff A bzw. Subjekt] sind [Begriff C bzw. Prädikat]

II.II Begriffe und Quantoren
Begriffe
  • jede Aufgabe hat immer drei verschiedene Begriffe:
    • Begriff A = Subjekt (z.B. A)
    • Begriff B = Prädikat = Mittelbegriff (z.B. C)
    • Begriff C = Prädikat (z.B. B)
Quantoren
  • max. drei verschiedene Quantoren
    • A. alle
    • B. keine
    • C. einige/einige ... keine
Eigenschaften der Quantoren (Tab. 1)
Quantor Quantität & Qualität
alle universell bejahend
kein universell verneinend
einige partiell bejahend
einige ... nicht partiell verneinend
Mengendiagramme (Euler-Diagramme)
  • Flächen der Diagramme = genaue Beziehung der Mengen (s. unten)

A.: alle

  • Alle A sind B.
  • alle wird genutzt um zu beschreiben, dass das Subjekt (A) eine Teilmenge (\(\subseteq\)) des Prädikats (B) ist.
    • Und umgekehrt?
      Umkehrschluss: das bedeutet nicht, dass alle B A sind, sondern nur einige B A sind.
  • Euler-Diagramm:

A \(\subseteq\) B

B.: keine

  • Kein A ist B.
  • keine wird genutzt um zu beschreiben, dass das Subjekt (A) eine leere (\(\varnothing\)) Teilmenge (A \(\cap\) B \( = \varnothing\)) mit dem Prädikat (C) hat.
    Und umgekehrt?
    Das bedeutet, dass C genauso wenig A sein können wie umgekehrt.
  • Euler-Diagramm:

A \(\cap\) C \( = \varnothing\)

C.: einige/einige ... keine

  • Einige A sind B.
  • einige wird genutzt um zu beschreiben, dass sich die Menge des Subjekts (A) und des Prädikats (B) überschneiden, kurz gesagt sogenannte Schnittmengen darstellen.
  • Mit der obigen Logik des keine Quantors bedeutet das, dass die Schnittmenge von A und B nicht leer (A \(\cap\) B \( \neq \varnothing\)) ist.
    • Und umgekehrt?
      Sind also einige A B, müssen auch einige B A sein - mit umgekehrtem Subjekten und Prädikat sind Prämissen dieses Quantors also identisch.
  • Euler-Diagramm:

A \(\cap\) B \( \neq \varnothing\)
  • Einige A sind nicht B.
  • einige ... keine wird genutzt um zu beschreiben, dass sich die Menge des Subjekts (A) und des Prädikats (B) zu einem gewissen Teil nicht überschneiden, kurz gesagt einige A sind keine reine Teilmenge (\(\nsubseteq\)) von B.
  • Mit der obigen Logik des keine Quantors bedeutet das, dass die Schnittmenge von A und B leer ist (A \(\nsubseteq\) B) bzw. dass A keine Teilmenge von Flugtieren sind.
    • Und umgekehrt?
      Der Umkehrschluss ist nicht möglich.
  • Euler-Diagramm:

A \(\nsubseteq\) B

III. Analyse der Aufgaben (mit goldenen Regeln)

III.I Syllogismen

  • Syllogismus (≈ Implikation)
    • Argument, dass zwei Prämissen mit einer Schlussfolgerung verknüpft
      1. Erste Prämisse
      2. Zweite Prämisse
      3. Schlussfolgerung

III.II Die 6 mit denen du's checkst (goldene Regeln)

  • 1. Regel
    • Erste Prämisse = verneinend
    • Zweite Prämisse = verneinend
    • immer Antwort (E) richtig
  • 2. Regel
    • Erste Prämisse = partiell
    • Zweite Prämisse = partiell
    • immer Antwort (E) richtig
  • 3. Regel
    • Erste Prämisse = bejahend
    • Zweite Prämisse = bejahend
    • Schlussfolgerung muss immer bejahend sein
  • 4. Regel
    • Erste Prämisse = universell/partiell
    • Zweite Prämisse = partiell/universell
    • Schlussfolgerung muss immer partiell sein
  • 5. Regel
    • Erste Prämisse = bejahend/verneinend
    • Zweite Prämisse = verneinend/bejahend
    • Schlussfolgerung muss immer verneinend sein
  • 6. Regel
    • Erste Prämisse = partiell verneinend (wenn)
    • Zweite Prämisse = universell bejahend (muss gegeben sein!)
    • Einzig mögliche Schlussfolgerung: partiell verneinend

III.III Kombinationsmöglichkeiten der Quantoren (Tab. 2)
Quantoren Kombination
1. Quantor alle alle alle alle kein kein einige einige einige ... nicht
2. Quantor alle kein einige einige ... nicht alle einige alle kein alle

IV. 27 lösbare Syllogismen

IV.I Mögliche Syllogismen

  • theoretisch mögliche Kombinationen der Syllogismen
    • 4 verschiedene Quantoren 1. Prämisse = 4
    • 4 verschiedene Quantoren 2. Prämisse = 4
    • mögliche Kombination der 1. und 2. Prämisse = 4
    • Anordungsmöglichkeit der Schlussfolgerung, da 4 Quantoren möglich = 4
      • Mögliche Syllogismen = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 256
  • starke Reduktion lösbarer Syllogismen durch Die sechs mit denen du's checkst
  • weitere Reduktion durch viele verschiedene Faktoren

IV.II Korrekte Lösungen (Tab. 3)
# Syllogismus Korrekte Lösung(en)
1.

Alle A sind B.

Alle B sind C.

Alle A sind C.

Einige A sind C.

Einige C sind A.

2.

Alle B sind A.

Alle B sind C.

Einige A sind C.

Einige C sind A.

3.

Alle C sind B.

Alle B sind A.

Alle C sind A.

Einige A sind C.

Einige C sind A.

4.

Alle A sind B.

Kein B ist C.

Kein A ist C.

Kein C ist A.

Einige A sind nicht C.

Einige C sind nicht A.

5.

Alle A sind B.

Kein C ist B.

Kein A ist C.

Kein C ist A.

Einige A sind nicht C.

Einige C sind nicht A.

6.

Alle B sind A.

Kein B ist C.

Einige A sind nicht C.

7.

Alle B sind A.

Kein C ist B.

Einige A sind nicht C.

8.

Alle B sind A.

Einige B sind C.

Einige A sind C.

Einige C sind A.

9.

Alle C sind B.

Einige C sind B.

Einige C sind A.

10.

Alle A sind B.

Einige C sind nicht B.

Einige C sind nicht A.

11.

Alle B sind A.

Einige B sind nicht C.

Einige A sind nicht C.

12.

Kein A ist B.

Alle B sind C.

Einige C sind nicht A.

13.

Kein A ist B.

Alle C sind B.

Kein A ist C.

Kein C ist A.

Einige A sind nicht C.

Einige C sind nicht A.

14.

Kein B ist A.

Alle B sind C.

Einige C sind nicht A.

15.

Kein B ist A.

Alle C sind B.

Kein A ist C.

Kein C ist A.

Einige A sind nicht C.

Einige C sind nicht A.

16.

Kein A ist B.

Einige B sind C.

Einige C sind nicht A.

17.

Kein A ist B.

Einige C sind B.

Einige C sind nicht A.

18.

Kein B ist A.

Einige B sind C.

Einige C sind nicht A.

19.

Kein B ist A.

Einige C sind B.

Einige C sind nicht A.

20.

Einige A sind B.

Alle B sind C.

Einige A sind nicht C.

Einige C sind nicht A.

21.

Einige B sind A.

Alle B sind C.

Einige A sind nicht C.

Einige C sind nicht A.

22.

Einige A sind B.

Kein B ist C.

Einige A sind nicht C.

23.

Einige A sind B.

Kein C ist B.

Einige A sind nicht C.

24.

Einige B sind A.

Kein B ist C.

Einige A sind nicht C.

25.

Einige B sind A.

Kein C ist B.

Einige A sind nicht C.

26.

Einige A sind nicht B.

Alle C sind B.

Einige A sind nicht C.

27.

Einige B sind nicht A.

Alle B sind C.

Einige C sind nicht A.

V. Entscheidungsbaum

V.I Entscheidungsbaum Lösungsstrategien zu Implikationen erkennen 2019 MedAT KFF