Zehnerpotenzen

Zehnerpotenzen sind ein mathematisches Werkzeug, das verwendet wird, um sehr große oder sehr kleine Zahlen zu vereinfachen. Sie sind in der Wissenschaft und Technik weit verbreitet und helfen dabei, Zahlen übersichtlich und leicht verständlich darzustellen.

Präfixe begegnen uns täglich – sowohl im Alltag als auch in Studium und Beruf. Sie werden dazu genutzt, besonders große und besonders kleine Zahlen mit Hilfe von Zehnerpotenzen leichter auszudrücken. Es handelt sich bei Präfixen also um einen Faktor mit der Basis 10 und einem ganzzahligen Exponenten.

Die Nutzung von Präfixen zur Darstellung von großen Zahlen lässt sich anhand eines Beispiels aus dem Alltag veranschaulichen: Niemand von uns gibt sein Gewicht in Gramm an, da man sonst mit Zahlen wie 70.000 Gramm jonglieren müsste. Stattdessen nutzen wir das Präfix „Kilo“ und geben unser Gewicht als 70 Kilogramm an. Kilo steht also für den Faktor $10^3$.

Präfixe zur Darstellung kleiner Zahlen begegnen uns ebenfalls tagtäglich: So lesen wir in Kochbüchern Angaben wie „200 Milliliter Milch“, womit ein Fünftel Liter gemeint ist. „Milli“ steht also für den tausendstel Anteil, also für den Faktor $10^{-3}$.

Die wichtigsten Präfixe sind in der folgenden Tabelle abgebildet.

Präfixe spielen insbesondere in den Naturwissenschaften eine große Rolle, da sie die Handhabung und Kommunikation von Messwerten erheblich vereinfachen.

Zum besseren Verständnis von Präfixen und ihrer Verwendung ist es hilfreich, sich die Regeln für das Rechnen mit Potenzen einzuprägen.

Potenzgesetze

1. $x^0 = 1$: Ist der Exponent 0, so ist das Ergebnis einer Potenz für jede beliebige Basis 1.
2. $x^1 = x$: Ist der Exponent 1, so ist das Ergebnis einer Potenz stets gleich der Basis $x$.
3. $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$: Ist der Exponent negativ, so wird der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten ermittelt.
4. $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$: Werden Potenzen mit derselben Basis multipliziert, so werden die Exponenten bei gleichbleibender Basis addiert.
5. $(x^n)^m = x^{n \cdot m}$: Wird eine Potenz wiederum potenziert, so werden die Exponenten bei gleichbleibender Basis miteinander multipliziert.
6. $\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}$: Wird der Quotient aus Potenzen mit derselben Basis gebildet, werden die Exponenten bei gleichbleibender Basis subtrahiert.
7. $x^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{x^n}$: Handelt es sich bei dem Exponenten um einen Bruch $\left(\frac{n}{m}\right)$, so wird die $m$-te Wurzel von $x^n$ gesucht.
8. $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$: Werden zwei Potenzen miteinander multipliziert und ist der Exponent derselbe, aber die Basen unterschiedlich, so werden die Basen bei gleichbleibendem Exponenten miteinander multipliziert.
9. $\frac{x^n}{y^n} = \left(\frac{x}{y}\right)^n$: Wird der Quotient aus zwei Potenzen mit demselben Exponenten, aber unterschiedlichen Basen gebildet, so erhält man den Quotienten der beiden Basen bei gleichbleibendem Exponenten.

Beispiele:

1. Multiplikation: $(2 \times 10^3) \times (3 \times 10^4) = 6 \times 10^7$
   
2. Division: $\frac{6 \times 10^5}{2 \times 10^3} = 3 \times 10^2$
   
3. Addition/Subtraktion: Um $4,5 \times 10^3$ und $3,2 \times 10^2$ zu addieren, muss man die Exponenten anpassen: $(4,5 \times 10^3) + (0,32 \times 10^3) = 4,82 \times 10^3$
   

   Zum besseren Verständnis von Präfixen und ihrer Verwendung ist es hilfreich, sich die Regeln für das Rechnen mit Potenzen einzuprägen.

   Potenzgesetze

   1. $x^0 = 1$: Ist der Exponent 0, so ist das Ergebnis einer Potenz für jede beliebige Basis 1.
   2. $x^1 = x$: Ist der Exponent 1, so ist das Ergebnis einer Potenz stets gleich der Basis $x$.
   3. $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$: Ist der Exponent negativ, so wird der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten ermittelt.
   4. $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$: Werden Potenzen mit derselben Basis multipliziert, so werden die Exponenten bei gleichbleibender Basis addiert.
   5. $(x^n)^m = x^{n \cdot m}$: Wird eine Potenz wiederum potenziert, so werden die Exponenten bei gleichbleibender Basis miteinander multipliziert.
   6. $\frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}$: Wird der Quotient aus Potenzen mit derselben Basis gebildet, werden die Exponenten bei gleichbleibender Basis subtrahiert.
   7. $x^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{x^n}$: Handelt es sich bei dem Exponenten um einen Bruch $\left(\frac{n}{m}\right)$, so wird die $m$-te Wurzel von $x^n$ gesucht.
   8. $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$: Werden zwei Potenzen miteinander multipliziert und ist der Exponent derselbe, aber die Basen unterschiedlich, so werden die Basen bei gleichbleibendem Exponenten miteinander multipliziert.
   9. $\frac{x^n}{y^n} = \left(\frac{x}{y}\right)^n$: Wird der Quotient aus zwei Potenzen mit demselben Exponenten, aber unterschiedlichen Basen gebildet, so erhält man den Quotienten der beiden Basen bei gleichbleibendem Exponenten.

   Beispiele:

   1. Multiplikation: $(2 \times 10^3) \times (3 \times 10^4) = 6 \times 10^7$
      
   2. Division: $\frac{6 \times 10^5}{2 \times 10^3} = 3 \times 10^2$
      
   3. Addition/Subtraktion: Um $4,5 \times 10^3$ und $3,2 \times 10^2$ zu addieren, muss man die Exponenten anpassen: $(4,5 \times 10^3) + (0,32 \times 10^3) = 4,82 \times 10^3$