Schwingungen und Wellen

Schwingungen sind ein grundlegendes Phänomen in der Physik, das beschreibt, wie ein System regelmäßig um eine Gleichgewichtslage hin und her schwingt. Solche Bewegungen können in verschiedenen Bereichen der Physik und Technik beobachtet werden, von der Schwingung eines Pendels bis hin zu elektrischen Schwingkreisen. In diesem Kapitel werden die wesentlichen Konzepte und mathematischen Beschreibungen von Schwingungen behandelt, die für das Verständnis der Physik im MedAT von Bedeutung sind.

Eine einfache harmonische Schwingung (SHO) ist eine Bewegung, bei der die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist und in Richtung des Gleichgewichtszustands wirkt. Das klassische Beispiel einer einfachen harmonischen Schwingung ist ein Massensystem, das an einer Feder befestigt ist. Die Bewegung wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben:

$F = -k \cdot x$

Hierbei ist $F$ die Rückstellkraft, $k$ die Federkonstante und $x$ die Auslenkung von der Gleichgewichtslage. Die Lösung der Bewegungsgleichung führt zu einer sinusförmigen Funktion der Zeit:

$x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi)$

Hierbei sind:

• $x(t)$ die Auslenkung zur Zeit $t$
• $A$ die Amplitude, also die maximale Auslenkung
• $\omega$ die Kreisfrequenz
• $\phi$ die Phasenverschiebung

Die Kreisfrequenz $\omega$ ist dabei durch die Masse $m$ und die Federkonstante $k$ gegeben:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Periodendauer und Frequenz

Die Periodendauer $T$ einer Schwingung ist die Zeit, die für eine vollständige Schwingung benötigt wird. Sie ist umgekehrt proportional zur Frequenz $f$:

$T = \frac{1}{f}$

Die Frequenz $f$ gibt die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde an und wird in Hertz (Hz) gemessen. Sie ist direkt mit der Kreisfrequenz $\omega$ verbunden:

$f = \frac{\omega}{2\pi}$

Energie einer harmonischen Schwingung

Die Energie einer harmonischen Schwingung setzt sich aus kinetischer Energie $E_k$ und potentieller Energie $E_p$ zusammen. Die Gesamtenergie $E_{ges}$ bleibt in einem idealen schwingenden System ohne Dämpfung konstant und ist gegeben durch:

$E_{ges} = E_k + E_p = \frac{1}{2} k A^2$

Hierbei ist $E_k$ die kinetische Energie:

$E_k = \frac{1}{2} m v^2$

und $E_p$ die potentielle Energie:

$E_p = \frac{1}{2} k x^2$

In realen Systemen treten häufig Dämpfungskräfte auf, die die Amplitude der Schwingung mit der Zeit verringern. Eine häufige Form der Dämpfung ist die viskose Dämpfung, bei der die Dämpfungskraft proportional zur Geschwindigkeit ist:

$F_d = -b \cdot v$

Hierbei ist $b$ der Dämpfungskoeffizient und $v$ die Geschwindigkeit. Die Bewegungsgleichung für eine gedämpfte Schwingung lautet:

$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$

Die Lösung dieser Gleichung hängt von der Dämpfung ab und führt zu unterschiedlichen Schwingungsverhalten:

• Unterkritische Dämpfung: Die Schwingung bleibt erhalten, aber die Amplitude nimmt exponentiell ab.
• Kritische Dämpfung: Das System kehrt schnellstmöglich ohne zu schwingen in die Gleichgewichtslage zurück.
• Überkritische Dämpfung: Das System kehrt langsamer in die Gleichgewichtslage zurück als bei kritischer Dämpfung und ohne zu schwingen.

Bei erzwungenen Schwingungen wird das System durch eine periodische äußere Kraft angetrieben. Die Bewegungsgleichung lautet:

$m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = F_0 \cos(\omega_{ext} t)$

Hierbei ist $F_0$ die Amplitude der äußeren Kraft und $\omega_{ext}$ die Frequenz der äußeren Kraft. Bei einer erzwungenen Schwingung kann es zur Resonanz kommen, wenn die Frequenz der äußeren Kraft der Eigenfrequenz des Systems entspricht ($\omega_{ext} = \omega$). Dies führt zu einer maximalen Amplitude der Schwingung.

Wellen sind Schwingungen, die sich im Raum ausbreiten. Sie treten in verschiedenen Formen und Dimensionen auf und sind ein zentrales Thema in der Physik. Wellen können mechanische, elektromagnetische oder materielle Natur haben und werden durch ihre charakteristischen Eigenschaften wie Amplitude, Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit beschrieben.

Wellen lassen sich in zwei Hauptkategorien unterteilen: Longitudinalwellen und Transversalwellen.

• Longitudinalwellen: Bei Longitudinalwellen schwingen die Teilchen des Mediums in der gleichen Richtung wie die Ausbreitungsrichtung der Welle. Ein klassisches Beispiel für Longitudinalwellen sind Schallwellen, bei denen Luftmoleküle in der Ausbreitungsrichtung der Welle komprimiert und expandiert werden.

• Transversalwellen: Bei Transversalwellen schwingen die Teilchen des Mediums senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Ein Beispiel für Transversalwellen sind die Wellen auf einer gespannten Saite, wie sie bei einer Gitarre entstehen. Hier schwingen die Saite und die Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle.

• Amplitude (A): Die Amplitude einer Welle ist der maximale Ausschlag vom Gleichgewichtspunkt. Sie bestimmt die Energie der Welle und ist bei Schallwellen beispielsweise ein Maß für die Lautstärke.

• Wellenlänge (λ): Die Wellenlänge ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichen Punkten einer Welle, wie zum Beispiel von einem Wellenberg zum nächsten. Sie bestimmt die räumliche Ausdehnung der Welle.

• Frequenz (f): Die Frequenz ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde und wird in Hertz (Hz) gemessen. Sie ist invers proportional zur Periodendauer $T$, der Zeit für eine vollständige Schwingung: $f = \frac{1}{T}$.

• Ausbreitungsgeschwindigkeit (v): Die Geschwindigkeit, mit der sich die Welle durch das Medium bewegt, ist das Produkt aus Wellenlänge und Frequenz: $v=\lambda \cdot f$

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle hängt vom Medium ab, durch das sie sich bewegt. Wenn Wellen von einem Medium in ein anderes übergehen, ändern sich ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge, während die Frequenz konstant bleibt. Dies führt zu einer Änderung der Ausbreitungsrichtung der Welle, ein Phänomen, das als Brechung bekannt ist. Der Brechungsindex $n$ eines Mediums beschreibt das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zur Lichtgeschwindigkeit im Medium:

$n = \frac{c}{v}$

Das Huygenssche Prinzip besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt für neue Elementarwellen betrachtet werden kann, die sich mit gleicher Geschwindigkeit wie die ursprüngliche Welle ausbreiten. Durch Überlagerung dieser Elementarwellen kann die neue Position der Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt bestimmt werden.

Interferenz tritt auf, wenn zwei oder mehr Wellen aufeinandertreffen und sich überlagern. Dies kann zu konstruktiver oder destruktiver Interferenz führen:

• Konstruktive Interferenz: Wenn die Wellenberge und Wellentäler der beteiligten Wellen übereinstimmen, addieren sich ihre Amplituden, was zu einer Verstärkung der Welle führt.

• Destruktive Interferenz: Wenn die Wellenberge der einen Welle mit den Wellentälern der anderen Welle überlappen, subtrahieren sich ihre Amplituden, was zu einer Abschwächung oder vollständigen Auslöschung der Welle führt.

Stehende Wellen entstehen, wenn zwei identische Wellen mit gleicher Frequenz und Amplitude in entgegengesetzter Richtung aufeinandertreffen. Bei stehenden Wellen entstehen Schwingungsknoten, an denen keine Bewegung stattfindet, und Schwingungsbäuche, an denen die Amplitude maximal ist. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schwingungsknoten beträgt eine halbe Wellenlänge.

Die Polarisation beschreibt die Ausrichtung der Schwingungen einer Welle im dreidimensionalen Raum. Longitudinalwellen können nicht polarisiert werden, da ihre Schwingungsrichtung mit der Ausbreitungsrichtung übereinstimmt. Transversalwellen können jedoch polarisiert werden:

• Lineare Polarisation: Die Schwingungen erfolgen in einer einzigen Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

• Zirkulare Polarisation: Die Schwingungsrichtung rotiert im Kreis, sodass die Welle eine spiralförmige Bewegung beschreibt. Je nach Drehsinn spricht man von rechtshändiger oder linkshändiger zirkularer Polarisation.