Algebra

Die Algebra ist eines der Teilgebiete der vier Hauptgebiete der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit Rechenoperationen im Allgemeinen sowie mit dem Rechnen mit Variablen.

Bevor auf die einzelnen Rechenoperationen eingegangen wird, wird der Begriff der Zahlenmenge definiert und es werden verschiedene Zahlenmengen vorgestellt. Anschließend werden Schlussrechnung, Prozentrechnung, Bruchrechnung sowie der Umgang mit Gleichungen und Ungleichungen behandelt.

• Natürliche Zahlen umfassen die Zahlen, die wir normalerweise zum Zählen verwenden, also 1, 2, 3, … Je nach Definition kann die 0 enthalten sein oder nicht.
• Ganze Zahlen erweitern die Menge der natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen, also um -1, -2, -3, …
• Rationale Zahlen ergänzen die ganzen Zahlen um Brüche und Dezimalzahlen.
• Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie besitzen unendlich viele Nachkommastellen. Beispiele sind die Euler’sche Zahl sowie die Kreiszahl π.
• Reelle Zahlen umfassen die Zahlenmenge der rationalen Zahlen sowie die Zahlenmenge der irrationalen Zahlen.
• Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen um die sog. imaginäre Einheit i.

Unter Schlussrechnung versteht die Algebra das Rechnen mittels Dreisatzes. Die Schlussrechnung findet Anwendung bei der Erfassung direkt proportionaler sowie indirekt proportionaler Zusammenhänge.

• Direkte Proportionalität: Gilt das Prinzip „je mehr der Größe A, desto mehr der Größe B“, handelt es sich um einen direkt proportionalen Zusammenhang. Beispielsweise lässt sich basierend auf der Angabe, dass ein Auto 50 Kilometer innerhalb einer halben Stunde zurücklegt, die gefahrene Strecke innerhalb von 2 Stunden ermitteln: Da die Zeitdauer um das Vierfache erhöht wurde, wächst auch die zurückgelegte Strecke um das Vierfache. Sie liegt also bei 200 Kilometern.

• Indirekte Proportionalität: Im Falle eines indirekt proportionalen Zusammenhangs verändern sich die beiden Größen A und B in entgegengesetzte Richtungen. Steigt A um das Vierfache, so sinkt B auf ein Viertel der ursprünglichen Größe. Erledigen beispielsweise zwei Handwerker eine bestimmte Arbeit innerhalb von vier Stunden, so würden acht Handwerker dieselbe Arbeit innerhalb von einem Viertel der Zeit, also innerhalb einer Stunde vollrichten.

• $W$  der Prozentwert,
• $p$  der Prozentsatz,
• $G$  der Grundwert.

Mittels Bruchrechnung lassen sich Divisionen vereinfachen und präziser ausdrücken. Ein Bruch besteht aus dem Zähler, der über dem Bruchstrich steht, und dem Nenner, der unter diesem zu finden ist. Steigt die Zahl im Zähler, so steigt der Gesamtwert des Bruchs. Nimmt die Zahl im Nenner zu, so sinkt der Gesamtwert.

• Addition und Subtraktion: Um die Summe oder die Differenz zweier Brüche zu bilden, müssen diese zunächst auf den gleichen Nenner gebracht werden. Erst dann können die Zähler miteinander verrechnet werden.

  Beispiel:

  $\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{\mathrm{6<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;\; font-size:\; 16px;"></span>}}$

• Multiplikation: Bei der Multiplikation von Brüchen werden Zähler und Nenner getrennt voneinander multipliziert.

  Beispiel:

  $\frac{1}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{1\times 2}{4\times 5}=\frac{2}{20}=\frac{1}{\mathrm{10<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;\; font-size:\; 16px;"></span>}}$

• Division: Möchte man einen Bruch durch einen anderen dividieren, so wird der Kehrwert des zweiten Bruchs gebildet und dieser anschließend mit dem ersten Bruch multipliziert.

  Beispiel:

  $\frac{1}{3} \div \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{1} = \frac{6}{3} = 2$

• Beispiel Gleichung: $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 4x+1}& {\displaystyle =2x-3\mathrm{\mid }-2x}\\ {\displaystyle 2x+1}& {\displaystyle =-3\mathrm{\mid }-1}\\ {\displaystyle 2x}& {\displaystyle =-4}\\ {\displaystyle x}& {\displaystyle =-2}\end{array}$$

• Beispiel Ungleichung: $$\begin{align*} -3x &> -12 \quad | : (-3) \\ x &< 4 \end{align*}$$$$